Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural .

Exemplo: B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

Nota: Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida., senão vejamos: por exemplo, o item (c) acima: Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 4. A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo.

Observações:

1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.

2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .

3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de (a + b)n são iguais .

4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .

Pergunta - Segundo Newton qual é a explicação para o seguinte fenomeno?

- 6 = - 6

4 - 10 = 9 - 15

4 - 10 + (5/2)2 = 9 - 15 + (5/2)2

(2)2 - 2 x 2 x 5/2 + (5/2)2 = (3)2 - 2 x 3 x (5/2)2 + (5/2)2

(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2

((2 - 5/2)2)1/2 = ((3 - 5/2)2)1/2

(2 - 5/2) = (3 - 5/2)

2 = 3

???

N.S